Divergente, convergente y rotacional

GRADIENTE

l gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo. En coordenadas rectangulares el gradiente de la función f(x,y,z) es:

Si S es una superficie de valor constante, para la función f(x,y,z), entonces el gradiente sobre la superficie, define un vector que es normal a la superficie.

La divergencia del gradiente se llama el Laplaciano. Se usa ampliamente en física.

DIVERGENTE

Se conoce como divergente el irse apartando sucesivamente unas de otras, dos o más líneas o superficies. La expresión divergente es de origen latín “divergens” o “divergentis” que expresa “separación” o “diferencia”.

El término divergente puede ser usado en diferentes contextos y, de ahí su importancia de poseer el conocimiento de su significado. Divergencia es sinónimo de discrepancia, disconformidad, diferencia, desacuerdo, por lo tanto, en sentido figurado es ostentar diferentes puntos de vista.

En el área de matemática, la expresión divergente alude a operaciones vectoriales, cuya propiedad son reveladas por la visualización de un campo de vectores, como: el flujo de un líquido o gas. En este sentido, existen dos campos de vectores, uno que representa el flujo en expansión de un campo vectorial, por lo que es positivo y, otro negativo, producto del flujo entrante o la compresión de fluidos sobre la superficie.

La divergencia (Div F) de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia. La divergencia de un campo vectorial es la manera de medir la variación de densidad de un flujo en un punto determinado.

En geometría, las líneas divergentes son aquellas que salen de un mismo punto y, a medida que se extienden se van separando una de otra. En geografía, existe el borde divergente, esto es, el límite que existe entre dos placas tectónicas que se alejan, el mismo puede ser apreciado en las dorsales oceánicas y en las zonas de rift.

En el área de la física, lentes divergentes son aquellos que la luz incide paralelamente entre si y es refractada, tomando direcciones que divergen a partir de un único punto.

CONVERGENTE

Un rayo paralelo

Pasa por el foco del lado de la imagen de una lente convergente

 

2. Un rayo central o rayo principal es el que pasa por el centro dellente y no se desvía.

 

3. Un rayo focal

Pasa por el foco del lado del objeto en una lente convergente, y después

de atravesarla, es paralelo al eje óptico de ella

 

Acción de una sección delente convergente sobre un haz de rayos paralelos.

 

Laslentes convergentes pueden formar imágenes virtuales mayores que el objeto 

(Lupa).

Rotacional

Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).

(1)

Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.

El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:

(2)

Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:

•  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (f) =0

•  Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0

•  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo  cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.